sup, inf 与 min, max 的区别

以前优化函数时的决策目标总是： min 或 max。最近读论文时，发现不少高质量的论文中总是写成： inf 或 sup。

inf 是 infimum 的简称，sup 是 supremum 的简称。

使用 inf 或 sup 总能保证一个函数的 inf 或 sup 存在，而函数的 min 或 max 有时候不存在。

例如函数： f(x)=sin⁡(x)/xf(x)=\sin(x)/xf(x)=sin(x)/x 的图像：

该函数在 x=0x=0x=0 处没有值，因此其最大值即 max 不存在，但是我们可以看出 f(x)f(x)f(x) 最小的上界为 1（不小于它最大值的值，都是它的上界），即 sup⁡f(x)=1\sup f(x)=1supf(x)=1。

sup 的定义：一个集合最小的上界

inf 的定义：一个集合最大的下界